Часть 3. Методы прикладной статистики
3.3. Статистика временных рядов
3.3.4. Моделирование и анализ
многомерных временных рядов
Рассмотрим методы моделирования и
анализа многомерных временных рядов, используемых для изучения реальных
процессов взаимовлияния факторов на основе подхода ЖОК, описанного в предыдущем
подразделе.
Основные
сведения о системе ЖОК. Компьютерная система ЖОК – это
система поддержки анализа и управления в сложных ситуациях[1],
описываемых многомерными временными рядами. Она предназначена для
структуризации и анализа сложных, трудно формализуемых, слабо структурированных
задач различной природы (экономической, управленческой, прогностической,
технической, медицинской, социально-политической, экологической и пр.). Она
применяется для построения моделей ситуаций на основе описания влияний
факторов. Это делается с помощью ориентированных графов и использования оценок
экспертов с последующим определением наиболее эффективных управленческих
решений. Компьютерная система ЖОК:
- поддерживает
аналитическое обоснование подходов к решению исследуемых проблем;
- позволяет
спрогнозировать развитие моделируемой реальной системы; оценить результаты
целенаправленного изменения тех или иных факторов;
- дает
возможность выработать условия для целенаправленного поведения в исследуемой
ситуации;
- обеспечивает
возможность решения прямых и обратных задач управления.
Для построения модели изучаемого явления или процесса
компьютерная система ЖОК предусматривает выделение основных факторов,
описывающих реальную ситуацию, и установление непосредственных взаимосвязей
между факторами в виде построения ориентированного взвешенного графа.
Опосредованные взаимовлияния и итоговое стационарное состояние рассчитываются
по описанным ниже алгоритмам. Система позволяет анализировать три основных типа
сценариев:
сценарий “Прогноз”, позволяющий проследить “естественное”
развитие моделируемой системы при отсутствии активных воздействий;
сценарий типа
“Активный”, при котором работающий с системой специалист изменяет значения тех
или иных параметров и анализирует получающуюся динамику и итоговое состояние
(например, с целью ручного поиска рационального управления);
сценарий типа “Цель”, когда компьютерная система по
заданной цели управления (например, значения определенных параметров должны
быть не менее заданных) находит оптимальные воздействия путем решения
соответствующей задачи оптимизации. В частности, проводит анализ принципиальной
достижимости указанной цели из текущего состояния с использованием выбранных
мероприятий (управлений).
Ядром
компьютерной системы ЖОК является описанная ниже математическая модель.
Преобразование задач анализа реальных явлений и процессов к математической
постановке, оценка адекватности реальности и ее модели, процесс выбора
управлений, процесс сравнительного анализа различных ситуаций в целом,
моделирования и последующей интерпретации результатов математического
моделирования относится к области “ручного труда” специалиста в соответствующей
области знания и полной автоматизации, как правило, не поддается.
Компьютерная система ЖОК обеспечивает расчет равновесного
(стационарного) состояния, к которому будет стремиться система взаимовлияющих
факторов, и всех промежуточных состояний на пути от начального состояния к
равновесному. В систему включены три варианта расчетов:
- расчет равновесного состояния без управления (учитываются
только начальные данные);
- расчет равновесного состояния с управлением импульсного
типа (при t = 0). (В такой модели система интерпретирует импульсное управление, как поправку
к начальным данным.);
- расчет величины управления по заданным значениям величины
приращения целевых факторов.
Математические алгоритмы
исследовательской системы ЖОК. Используются следующие обозначения:
n - количество вершин в
ориентированном графе G модели, т.е. число используемых в модели факторов;
- матрица порядка nЧn непосредственных влияний факторов
(матрица смежности графа G);
-
матрица, транспонированная к матрице 
(называемая матрицей непосредственных
контрвлияний факторов);
t – время,
принимающее дискретные значения 0, 1, 2, 3, …
вектор 
, t = 0, 1, 2,
3, …, - вектор изменений (приращений,
дифференциалов) факторов в момент дискретного времени t;
вектор 
, t = 0, 1, 2,
3, …, является вектором дифференциалов факторов второго порядка в момент дискретного времени t;
вектор 
обозначает
величины предельных стационарных изменений (дифференциалов) факторов при
безграничном росте t. Очевидно,
что если 
существует, то
);
вектор 
обозначает
внешние управляющие воздействия, подаваемые на фактор
.в
момент
t;
вектор 
обозначает сравнительную важность факторов ,
задаваемую экспертным путем;
вектор 
обозначает отношение составителя модели к
направлению изменения величин факторов (+1 – рост значения фактора оценивается
положительно, (-1) – отрицательно, 0 – нейтрально);
-
единичная n´n матрица (на главной диагонали стоят 1, на остальных
позициях – 0);
- прореженная единичная n´n матрица,
в которой единицы стоят на диагонали только на тех позициях, которые
соответствуют целевым факторам. Очевидно, что является проектором на координатную плоскость
целевых факторов, и следовательно 
,
матрица является псевдообратной к матрице ;
- прореженная единичная n´n
матрица, в которой единицы стоят на диагонали только на тех позициях, которые
соответствуют управляющим факторам. Очевидно, что является проектором на координатную плоскость
управляющих факторов, и, следовательно 
, матрица является псевдообратной к матрице ;
- резольвента, где 
- множитель-стабилизатор, который используется
в целях обеспечения достаточно устойчивой и быстрой сходимости итерационного
процесса приближенного вычисления матрицы резольвентного оператора
,
где p
достаточно велико. Полагают 
в том случае, если собственные числа матрицы 
достаточно малы (обычно принимается, что 
должна иметь собственные числа не только
меньше единицы, но и меньше 0.9). Поскольку стабилизатор 
имеет лишь внутриматематический смысл и не
используется при построении модели и интерпретации результатов расчетов, то в
дальнейшем его не будем упоминать, предполагая по умолчанию 
.
Система уравнений в
математико-статистической модели. Для
описания динамики факторов в компьютерной системе ЖОК используется математико-статистическая модель в виде системы линейных
конечноразностных рекуррентных уравнений на трехточечном шаблоне {t-1, t, t+1} следующего вида:
(1),
с
начальными условиями
(2),
где i = 1, 2, ... , n , t = 0, 1, 2, ...
Для рекуррентного уравнения на
трехточечном шаблоне необходимо задать начальные условия при t = 0 () и t = 1 (
).
Следовательно, первым уравнением цепочки рекуррентных уравнений (1) будет
уравнение при t = 1.
При t = 1 уравнение полагается определенным и имеет вид
Для t = 0 уравнение определяется
посредством соотношения
(3),
и
тогда недостающие начальные данные вычисляются из уравнения
(4)
Заметим, что
доопределение начальных данных нулем - всего
лишь один из способов. В частности, если положить 
, то
результаты вычислений будут другими.
Из уравнений
(1) видно, что используемая модель предполагает, что за один шаг дискретного
времени (Dt = 1) происходит распространение влияния
факторов-аргументов только на непосредственно от них зависящие факторы-функции.
Времени можно придать содержательный смысл, если за шаг принять реальный
интервал времени, необходимый для осуществления непосредственного влияния
одного фактора на другой. Этот интервал может быть оценен экспертно, В ряде
случаев его можно принять равным кварталу.
Уравнение (1)
- (2) в векторной форме имеет вид
(5)
, 
(6)
где t
= 0, 1, 2, ... Решение задачи (5)-(6)
определяются формулой
(7).
Стационарное состояние и начальные
условия. Стационарное
состояние вычисляется приближенно при 
. Для
практических расчетов достаточно принять, что 
.
Векторное уравнение (5) может быть
представлено в виде уравнения для дифференциалов второго порядка:
(8)
, (9)
где t = 0, 1, 2, ... Решение уравнения (8) –
(9) имеет вид
(10).
Если
просуммировать уравнения (8) при t = 0, 1, 2, . . . , то получим (при
условии сходимости)
(11),
откуда
следует
(12)
Если же просуммировать
уравнения (8) при t = 1, 2, . . . , то получим (при условии сходимости)
, (13)
и
соответственно
, (14),
откуда
видно, что при выборе начальных условий вида результат (14) отличается от (12).
В частности, при выборе режима
прогноза развития ситуации без управления 
и выборе начальных условий ,
которые выражают равенство нулю вторых производных от величин факторов при t = 0, из формулы (14) получим 
. Это
означает, что никакого развития ситуации не происходит. Она продолжает
двигаться “равномерно и прямолинейно”, поскольку вторые дифференциалы факторов
равны нулю и первые дифференциалы факторов не изменяются во времени.
С другой стороны, формула (12)
предполагает, что начальные данные оказывают такое же ударное воздействие в
момент t = 0, как и внешнее импульсное при t = 0 управление, играющее
роль (и имеющее “размерность”) “механической силы”.
Если предполагается использование
только импульсных управляющих воздействий 
при t = 0 и в дальнейшем , то задача развития ситуации без
управления и с управлением не отличаются друг от друга, поскольку управление в
сущности играет роль поправки к начальным данным и, обратно, начальные
данные выполняют роль поправки к
управлению.
Режим поиска управления по целевым
значениям факторов. Проекция
стационарного решения (12) уравнения (8) - (9) на координатную плоскость
целевых факторов может быть представлено в виде
,
где
, 
,
или иначе
. (15).
Пусть 
- вектор значений дифференциалов целевых
факторов, тогда импульсное управление 
определяется по формуле
, (16),
где “+” обозначает операцию псевдоинверсии, и матрица 
является псевдообратной к матрице 
;
является результатом применения к вектору операции 
- ограничения числовых значений компонент
вектора величинами +1 и -1 , если эти значения выходят
за пределы отрезка [-1; +1];
получается из 
применением операции 
- замены числовых значений ближайшими к ним экстремальными на отрезке
[-1; +1] величинами +1 или -1 соответственно.
Тогда стационарные решения, получаемые с использованием
этих управлений, вычисляются по формулам
,
.
Степени матрицы смежности графа G и опосредованные взаимовлияния
факторов. Пусть
вершина x1 влияет на вершину x2 с силой 0.5, вершина x2
влияет на x4 с силой 0.6, вершина x1 влияет на x3 с силой
0.8, вершина x3 влияет на x4 с силой 0.4. Тогда опосредованное
суммарное влияние x1 на x4 имеет силу
0.5Ч0.6 +
0.8Ч0.4 = 0.62,
что равно сумме весов
двух путей x1 → x2 → x4 и x1 → x3
→ x4 из x1 в x4, веса которых равны соответственно 0.5Ч0.6
= 0.3 и 0.8Ч0.4 = 0.32. Суммарная сила влияния
одного фактора на другой равна сумме весов всех маршрутов в ориентированном
графе G, ведущих из одного фактора в другой. Вес пути (маршрута)
определяется как произведение весов дуг составляющих этот путь (маршрут).
Если рассмотреть степени матрицы , то их
элементам можно придать вполне определенный смысл. Так, например, элемент
матрицы 
с координатами (1,2) равен сумме весов
всех маршрутов из x1 в x2, содержащих ровно две дуги, а в 
сумме весов всех маршрутов из x1 в x2,
содержащих ровно три дуги и т.д. Таким образом, матрица 
выражает суммарные опосредованные
влияния факторов друг на друга с учетом
рефлексивного (при m = 0) непосредственного влияния фактора на самое
себя с силой +1, а матрица 
не
учитывает рефлексивного непосредственного влияния.
Матрица 
является матрицей контрвлияний факторов с
учетом рефлексивности, а матрица
- матрицей контрвлияний факторов без учета
рефлексивности.
Отдельный интерес представляет собой матрица 
знаков элементов матрицы , т.е.
матрица направленности интегральных влияний фактора на фактор (или
контрвлияний, если рассмотреть матрицу 
).
