Часть
1. Фундамент прикладной статистики
1.4. Теоретическая база прикладной статистики
1.4.5. Принцип инвариантности
Пусть Y1, Y2, … , Yn – независимые одинаково
распределенные случайные величины с непрерывной функцией распределения F(x). Многие используемые в прикладной
статистике функции от результатов наблюдений выражаются через эмпирическую
функцию распределения Fn(x). К ним относятся статистики
Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат. Отметим, что и другие статистики
выражаются через эмпирическую функцию распределения, например:
.
Полезным
является преобразование Н.В.Смирнова t = F(x). Тогда независимые случайные
величины Zj = F(Yj), j = 1, 2, … , n, имеют равномерное распределение на
отрезке [0; 1]. Рассмотрим построенную по ним эмпирическую функцию
распределения Fn(t), 0 < t < 1. Эмпирическим процессом называется случайный процесс
.
Рассмотрим
критерии проверки согласия функции распределения выборки с фиксированной функцией распределения F(x). Статистика критерия Колмогорова
записывается в виде
статистика критерия Смирнова – это
а статистика критерия омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) имеет вид
.
Случайный
процесс ξn(t) имеет нулевое математическое
ожидание и ковариационную функцию Мξn(s)ξn(t) = min (s,t) – st. Рассмотрим гауссовский случайный процесс ξ(t) с такими же математическим
ожиданием и ковариационной функцией. Он называется броуновским мостом.
(Напомним, что гауссовским процесс именуется потому,
что вектор (ξ(t1), ξ(t2), … , ξ(tk)) имеет многомерное нормальное распределение при
любых наборах моментов времени t1, t2, … , tk.)
Пусть f – функционал,
определенный на множестве возможных траекторий случайных процессов. Принцип
инвариантности [1] состоит в том, что последовательность распределений
случайных величин f(ξn) сходится при n → ∞ к распределению
случайной величины f(ξ). Сходимость по
распределению обозначим символом =>. Тогда принцип инвариантности кратко
записывается так: f(ξn) => f(ξ). В
частности, согласно принципу инвариантности статистика Колмогорова и статистика
омега квадрат сходятся по распределению к распределениям соответствующих
функционалов от случайного процесса ξ:
=> , => .
Таким образом, от проблем прикладной
статистики сделан переход к теории случайных процессов. Методами этой теории
найдены распределения случайных величин
, .
Принцип инвариантности – инструмент
получения предельных распределений функций от результатов наблюдений,
используемых в прикладной статистике.
Обоснование
принципу инвариантности может быть дано на основе теории сходимости
вероятностных мер в функциональных пространствах [8]. Более простой подход,
позволяющий к тому же получать необходимые и достаточные условия в предельной
теории статистик интегрального типа (принцип инвариантности к ним нельзя
применить), рассмотрен в главе 2.3.
Почему
«принцип инвариантности» так назван? Обратим внимание, что предельные
распределения рассматриваемых статистик не зависят от их функции распределения F(x). Другими словами, предельное
распределение инвариантно относительно выбора F(x).
В
более широком смысле термин «принцип инвариантности» применяют тогда, когда
предельное распределение не зависит от тех или иных характеристик исходных
распределений [1]. В этом смысле наиболее известный «принцип инвариантности» -
это Центральная Предельная Теорема, поскольку предельное стандартное нормальное
распределение – одно и то же для всех возможных распределений независимых
одинаково распределенных слагаемых (лишь бы слагаемые имели конечные
математическое ожидание и дисперсию).