А.И.
Орлов
Теория принятия решений
Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004.
2. ОПИСАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ В ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
2.3.10. Место статистики интервальных данных (СИД) среди методов описания неопределенностей
Кратко
рассмотрим положение статистики интервальных данных среди других методов описания
неопределенностей.
Нечеткость
и СИД. С формальной точки зрения описание нечеткости интервалом – это частный
случай описания ее нечетким множеством. В СИД функция принадлежности нечеткого
множества имеет специфический вид – она равна 1 в некотором интервале и 0 вне
его. Такая функция принадлежности описывается всего
двумя параметрами (границами интервала). Эта простота описания делает математический
аппарат СИД гораздо более прозрачным, чем аппарат теории нечеткости в общем
случае. Это, в свою очередь, позволяет продвинуться дальше, чем при использовании
функций принадлежности произвольного вида.
Интервальная
математика и СИД. Можно было бы сказать, что СИД – часть интервальной математики,
что СИД так соотносится с прикладной математической статистикой, как интервальная
математика – с математикой в целом. Однако исторически сложилось так, что интервальная
математика занимается прежде всего вычислительным погрешностями.
С точки зрения интервальной математики две формулы для выборочной дисперсии,
рассмотренные выше, имеют разные погрешности. А с точки зрения СИД эти две формулы
задают одну и ту же функцию, и поэтому им соответствуют совпадающие нотны
и рациональные объемы выборок. Интервальная математика прослеживает процесс
вычислений, СИД этим не занимается. Необходимо отметить, что типовые постановки
СИД могут быть перенесены в другие области математики, и, наоборот, вычислительные
алгоритмы прикладной математической статистики и СИД заслуживают изучения. Однако
и то, и другое – скорее дело будущего. Из уже сделанного
отметим применение методов СИД при анализе такой характеристики финансовых потоков,
как NPV – чистая текущая стоимость [27].
Математическая статистика и СИД. Как уже отмечалось,
математическая статистика и СИД отличаются тем, в каком порядке делаются предельные
переходы и При этом СИД переходит
в математическую статистику при . Правда, тогда
исчезают основные особенности СИД: нотна становится
равной 0, а рациональный объем выборки – бесконечности. Рассмотренные выше методы
СИД разработаны в предположении, что погрешности малы (но не исчезают) и объем
выборки велик. СИД расширяет классическую математическую статистику тем, что
в исходных статистических данных каждое число заменяет интервалом. С другой
стороны, можно считать СИД новым этапом развития математической статистики.
Статистика объектов нечисловой природы и СИД. Статистика объектов нечисловой природы
(СОНП) расширяет область применения классической математической статистики путем
включения в нее новых видов статистических данных [27]. Естественно, при этом
появляются новые виды алгоритмов анализа статистических данных и новый математический
аппарат (в частности, происходит переход от методов суммирования к методам оптимизации).
С точки зрения СОНП частному виду новых статистических данных – интервальным
данным – соответствует СИД. Напомним, что одно из двух основных понятий СИД
– нотна – определяется как решение оптимизационной
задачи. Однако СИД, изучая классические методы прикладной статистики применительно
к интервальным данным, по математическому аппарату ближе к классике, чем другие
части СОНП, например, статистика бинарных отношений.
Робастные методы статистики и СИД. Если понимать робастность согласно
[3] как теорию устойчивости статистических методов по отношению к допустимым
отклонениям исходных данных и предпосылок модели, то в
СИД рассматривается одна из естественных постановок
робастности. Однако в массовом сознании специалистов термин «робастность» закрепился
за моделью засорения выборки большими выбросами (модель Тьюки-Хубера), хотя эта модель не имеет большого практического
значения [27]. К этой модели СИД не имеет отношения.
Теория устойчивости и СИД. Общей схеме устойчивости [3] математических моделей
социально-экономических явлений и процессов по отношению к допустимым отклонениям
исходных данных и предпосылок моделей СИД полностью соответствует. Он посвящен
математико-статистическим моделям, используемым при анализе статистических данных,
а допустимые отклонения – это интервалы, заданные ограничениями на погрешности.
СИД можно рассматривать как пример теории, в которой учет устойчивости позволил
сделать нетривиальные выводы. Отметим, что с точки зрения общей схемы устойчивости
[3] устойчивость по Ляпунову в теории дифференциальных уравнений – весьма частный
случай, в котором из-за его конкретности удалось весьма далеко продвинуться.
Минимаксные методы, типовые отклонения и СИД. Постановки СИД относятся к минимаксным. За основу берется максимально возможное отклонение.
Это – подход пессимиста, используемый, например, в теории антагонистических
игр. Использование минимаксного подхода позволяет подозревать СИД в завышении
роли погрешностей измерения. Однако примеры изучения вероятностно-статистических
моделей погрешностей, проведенные, в частности, при разработке методов оценивания
параметров гамма-распределения [4], показали, что
это подозрение не подтверждается. Влияние погрешностей измерений по порядку
такое же, только вместо максимально возможного отклонения (нотны)
приходится рассматривать математическое ожидание соответствующего отклонения
(см. выше). Подчеркнем, что применение в СИД вероятностно-статистических
моделей погрешностей не менее перспективно, чем минимаксных.
Подход научной школы А.П. Вощинина
и СИД. Если в математической
статистике неопределенность только статистическая, то в научной школе А.П. Вощинина
- только интервальная. Можно сказать, что СИД лежит между классической прикладной
математической статистикой и областью исследований научной школы А.П. Вощинина.
Другое отличие состоит в том, что в этой школе разрабатывают новые методы анализа
интервальных данных, а в СИД
в настоящее время изучается устойчивость классических статистических методов
по отношению к малым погрешностям. Подход СИД оправдывается распространенностью
этих методов, однако в дальнейшем следует переходить к разработке новых методов,
специально предназначенных для анализа интервальных данных.
Анализ чувствительности и СИД. При анализе чувствительности, как и
в СИД, рассчитывают производные по
используемым переменным, или непосредственно находят изменения при отклонении
переменной на +10% от базового значения. Однако этот анализ делают по
каждой переменной отдельно. В СИД
все переменные рассматриваются совместно, и находится максимально возможное
отклонение (нотна). При малых погрешностях удается
на основе главного члена разложения функции в многомерный ряд Тейлора получить
удобную формулу для нотны. Можно сказать, что СИД
– это многомерный анализ чувствительности.
Литература
1. Дискуссия по анализу
интервальных данных // Заводская лаборатория. 1990. Т.56. No.7, с.75-95.
2. Сборник трудов Международной
конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (ИНТЕРВАЛ-92).
Тт. 1,2. - М.: МЭИ, 1992, 216 с., 152 с.
3. Орлов А.И. Устойчивость
в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. 296 с.
4. ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных
границ для параметров гамма-распределения. - М.: Изд-во
стандартов, 1984, 53 с.
5. Orlov
A.I. // Interval Computations, 1992, No.1(3), р.44-52.
6. Орлов А.И. // Наука и
технология в России. 1994. No.4(6). С.8-9.
7. Шокин
Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981, 112 с.
8. Орлов А.И. - В сб.: Статистические
методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь:
Изд-во Пермского государственного университета, 1990, с..89-99.
9. Орлов А.И. - В сб.: Статистические
методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь:
Изд-во Пермского государственного университета, 1991, с.77-86.
10. Орлов А.И. - В сб.:
Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных
трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1988, с.45-55.
11. Орлов А.И. - В сб.:
Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных
трудов. - Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1995, с.114-124.
12. Орлов А.И. - В сб.:
Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных
трудов. Пермь: Пермский государственный университет, 1993, с.149-158.
13. Биттар
А.Б. Метод наименьших квадратов для интервальных данных. Дипломная работа. -
М.: МЭИ, 1994. 38 с.
14. Пузикова
Д.А. // Наука и технология в России. 1995. No.2(8). С.12-13.
15. Орлов А.И. // Надежность и контроль качества, 1991, № 8, с.3-8.
16. Орлов А.И. // Заводская лаборатория. 1998. Т.64. № 3. С.52-60.
17. Вощинин А.П. Метод оптимизации объектов по интервальным моделям
целевой функции. - М.: МЭИ, 1987. 109 с.
18. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация
в условиях неопределенности. - М.: МЭИ - София: Техника, 1989. 224 с.
19. Вощинин А.П., Акматбеков Р.А. Оптимизация
по регрессионным моделям и планирование эксперимента. - Бишкек: Илим, 1991. 164 с.
20. Вощинин А.П. // Заводская лаборатория. 2000. Т.66, № 3. С.51-65.
21. Вощинин А.П. // Заводская лаборатория. 2002. Т.68, № 1. С.118-126.
22. Дывак Н.П. Разработка методов оптимального планирования эксперимента
и анализа интервальных данных. Автореф. дисс. канд.. технич.
наук. - М.: МЭИ, 1992. 20 с.
23. Симов
С.Ж. Разработка и исследование интервальных моделей при анализе данных и проектировании
экспертных систем. Автореф. дисс. канд. технич. наук. - М.:
МЭИ, 1992. 20 с.
24. Орлов А.И. // Заводская
лаборатория. 1999. Т.65. № 7. С.46-54.
25. Орлов А.И. // Заводская
лаборатория. 1991. Т.57. № 7. С.64-66.
26. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. – Л.:
Энергоатомиздат, 1985. 248 с.
27. Орлов А.И. Эконометрика.
– М.: Экзамен, 2002. 576 с.
28. Дейвид
Г. Порядковые статистики. – М.: Наука, 1979.
29. Колмогоров А.Н. Метод
медианы в теории ошибок. – В кн.: Колмогоров
А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: [Сб. статей]. – М.: Наука,
1986. – С.111-114.
30. Орлов А.И. Об оценивании
параметров гамма-распределения. - Журнал "Обозрение
прикладной и промышленной математики". 1997. Т.4. Вып.3. С.471-482.
31. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. –
М.: Наука, 1970.
32. Бронштейн И.Н., Семендяев
К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.-Л.: ГИТТЛ,
1945.
33. Кендалл
М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. – М.:
Наука, 1973. 900 с.
34. Рекомендации. Прикладная
статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики. –
М.: ВНИИС, 1987.
35. Ляшенко
Н.Н., Никулин М.С. Машинное умножение и деление независимых случайных величин
// Записки научных семинаров Ленингр. Отделения Математического ин-та АН СССР, 1986, Т.153.
36. Хьюбер
П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984. 303 с.
37. Орлов А.И. Асимптотика
решений экстремальных статистических задач // Анализ нечисловых данных в системных
исследованиях. Сб. трудов. Вып.10. – М.: ВНИИ системных исследований АН СССР,
1982. – С.4-12.
38. Крамер
Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975. 648 с.
39. Боровков А.А. Математическая
статистика. – М.: Наука, 1984. 472 с.
40. Кендалл
М., Стьюарт А. Теория распределений. – М.: Наука,
1966.
41. Смирнов Н.В. Оценка
расхождения между эмпирическими кривыми распределения в двух независимых выборках
// Бюллетень МГУ. Сер.А.
1939. Т.2. №2.
42. Большев
Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983.
43. Орлов А.И. О критериях Колмогорова и Смирнова // Заводская лаборатория.
1995. Т.61. No.7. С.59-61.
44. Гантмахер
Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966. -576 с.
45. Розанов Ю.А. Теория
вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. - М.: Наука, 1989.
- 320 с.
46. Налимов В.В., Голикова
Т.И. Логические основания планирования эксперимента. – М.: Металлургия, 1976.
128 с.
Контрольные вопросы и задачи
1. Покажите на примерах,
что в задачах принятия решений исходные данные часто имеют интервальный характер.
2. В чем особенности подхода
статистики интервальных данных в задачах оценивания параметров?
3. В чем особенности подхода
статистики интервальных данных в задачах проверки гипотез?
4. Какие новые нюансы проявляются
в статистике интервальных данных при переходе к многомерным задачам?
5. Выполните операции над интервальными числами:
вариант 1 - а)[1,2]+[3,4], б)[4,5]-[2,3], в)[3,4]x[5,7], г)[10,20]:[4,5];
вариант 2 - а)[0,2]+[3,5], б)[3,5]-[2,4], в)[2,4]x[5,8], г)[15,25]:[1,5].
6. Выпишите формулу для асимптотической нотны (ошибки по абсолютной величине не превосходят константы
t, предполагающейся малой) для функции
f(x1,x2)
= 5 (x1)2 + 10 (x2)2
+ 7 x1x2.
Вычислите асимптотическую нотну в точке (x1,x2)
= (1,2) при t = 0,1.
7. Выпишите формулу для асимптотической нотны (ошибки по абсолютной величине не превосходят константы
t, предполагающейся малой) для функции
f(x1,x2)
= 4 (x1)2 + 12 (x2)2 - 3
x1x2.
Вычислите асимптотическую нотну в точке (x1,x2)
= (2,1) при t = 0,05.
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ
1. Классическая математическая
статистика как предельный случай статистики интервальных данных.
2. Концепция рационального
объема выборки.
3. Сравнение методов оценивания
параметров и характеристик распределений в статистике интервальных данных и
в классической математической статистике.
4. Подход к проверке гипотез
в статистике интервальных данных.
5. Метод наименьших квадратов
для интервальных данных.
6. Различные способы учета
погрешностей исходных данных в статистических процедурах.
7. Статистика интервальных
данных как часть теории устойчивости (с использованием монографии [3]).
Материал предоставлен сайтом AUP.Ru (Электронная библиотека экономической и деловой литературы)
Похожие материалы:
Место статистики
интервальных данных (СИД) в прикладной статистике
Гольдштейн Г.Я. Основы менеджмента: Место решения в процессе управления
Место реализации товаров
Место убежища
Место финансового права в единой системе российского права (Батычко В.Т., 2009)
Местоположение организации, стоимость земельного участка
|