Математическое
ожидание
Рассмотрим случайную
величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой
функцией число – ее «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину»,
«показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут
ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют
математическое ожидание.
Определение
3. Математическим ожиданием случайной величины Х называется число
(4)
т.е. математическое ожидание
случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами,
равными вероятностям соответствующих элементарных событий.
Пример
6. Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани
игрального кубика. Непосредственно из определения 3 следует, что
Утверждение
2. Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2,…,
хm. Тогда справедливо равенство
(5)
т.е. математическое ожидание
случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами,
равными вероятностям того, что случайная величина принимает определенные
значения.
В отличие от (4), где
суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное
событие может состоять из нескольких элементарных
событий.
Иногда соотношение (5)
принимают как определение математического ожидания. Однако с помощью
определения 3, как показано далее, более легко установить свойства
математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных
явлений, чем с помощью соотношения (5).
Для доказательства
соотношения (5) сгруппируем в (4) члены с одинаковыми значениями случайной
величины :
Поскольку постоянный множитель можно
вынести за знак суммы, то
По определению вероятности
события
С помощью двух последних соотношений
получаем требуемое:
Понятие
математического ожидания в вероятностно-статистической теории соответствует
понятию центра тяжести в механике. Поместим в точки х1, х2,…,
хm на числовой оси массы P(X=x1), P(X=x2),…, P(X=xm) соответственно. Тогда равенство (5) показывает, что
центр тяжести этой системы материальных точек совпадает с математическим
ожиданием, что показывает естественность определения 3.
Утверждение
3. Пусть Х – случайная величина, М(Х) – ее математическое ожидание, а – некоторое число. Тогда
1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х))=0; 3) М[(X-a)2]=M[(X-M(X))2]+(a-M(X))2.
Для
доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, т.е. функция отображает пространство элементарных событий в единственную точку а. Поскольку
постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то
Если
каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на
две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая – из
вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин Х+У,
определенных на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме
математических ожиданий М(Х) и М(У) этих случайных величин:
М(Х+У)
= М(Х) + М(У).
А потому М(Х-М(Х)) = М(Х) -
М(М(Х)). Как показано выше, М(М(Х)) = М(Х). Следовательно, М(Х-М(Х))
= М(Х) - М(Х) = 0.
Поскольку (Х - а)2 = {(X – M(X)) + (M(X) - a)}2 = (X - M(X))2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a)2, то M[(Х - а)2] =M(X - M(X))2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} +M[(M(X) – a)2]. Упростим последнее равенство. Как
показано в начале доказательства утверждения 3, математическое ожидание
константы – сама эта константа, а потому M[(M(X) – a)2] = (M(X) – a)2. Поскольку постоянный множитель можно
выносить за знак суммы, то M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)М(X - M(X)). Правая часть последнего равенства
равна 0, поскольку, как показано выше, М(Х-М(Х))=0. Следовательно, М[(X-a)2]=M[(X-M(X))2]+(a-M(X))2, что и требовалось доказать.
Из сказанного вытекает,
что М[(X-a)2] достигает минимума по а,
равного M[(X-M(X))2], при а = М(Х), поскольку второе
слагаемое в равенстве 3) всегда неотрицательно и равно 0 только при указанном
значении а.
Утверждение 4. Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2,…, хm, а f – некоторая функция числового
аргумента. Тогда
Для
доказательства сгруппируем в правой части равенства (4), определяющего
математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями :
Пользуясь тем, что постоянный
множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного
события (2), получаем
что и требовалось доказать.
Утверждение
5. Пусть Х и У – случайные величины, определенные на одном и
том же пространстве элементарных событий, а и b – некоторые числа. Тогда M(aX+bY)=aM(X)+bM(Y).
С
помощью определения математического ожидания и свойств символа суммирования
получаем цепочку равенств:
Требуемое доказано.
Выше
показано, как зависит математическое ожидание от перехода к другому началу
отсчета и к другой единице измерения (переход Y=aX+b), а также к функциям от случайных
величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом
анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия, при
переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчетах, в нормативно-технической
документации и др. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же
расчетные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига.