Неравенства Чебышёва
Во введении к разделу обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной
продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического
подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства,
впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком
Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821-1894) и потому носящие его имя.
Эти неравенства широко используются в теории математической статистики,
а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия
решении. Например, в задачах статистического анализа технологических
процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения
результатов наблюдений не известен. Они применяются также в задаче исключения
резко отклоняющихся результатов наблюдений.
Первое неравенство Чебышева. Пусть Х –
неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда
для любого положительного числа а справедливо неравенство
Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы
(4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае
неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не
увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых .
Получим, что
. (9)
Для всех слагаемых в правой
части (9) ,
поэтому
. (10)
Из (9) и (10) следует
требуемое.
Второе
неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина. Для любого положительного числа а справедливо неравенство
.
Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышёва «О
средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и
опубликованной в следующем году.
Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим
случайную величину У = (Х – М(Х))2. Она неотрицательна, и
потому для любого положительного числа b, как следует из первого неравенства
Чебышёва, справедливо неравенство
.
Положим b = a2. Событие {Y>b} совпадает с событием {|X – M(X)|>a}, а потому
,
что и требовалось доказать.
Пример
11. Можно указать
неотрицательную случайную величину Х и положительное число а такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.
Достаточно рассмотреть . Тогда М(Х)
= а, М(Х)/а = 1 и Р(а>a) = 1, т.е. P(X>a) = M(X)|a = 1.
Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей
формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства
случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных
явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше
соответствующих правых частей.
Пример 12. Может ли первое неравенство Чебышёва
обращаться в равенство при всех а? Оказывается, нет. Покажем, что для
любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием
можно найти такое положительное число а, что первое неравенство Чебышёва
является строгим.
Действительно, математическое ожидание неотрицательной
случайной величины либо положительно, либо равно 0. В первом случае возьмем
положительное а, меньшее положительного числа М(Х), например,
положим а = М(Х)/2. Тогда М(Х)/а больше 1, в то время как
вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева
является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями
примера 11.
Отметим, что во втором случае равенство 0 математического
ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. Для такой
случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при
любом положительном а.
Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева
отбросить требование неотрицательности случайной величины Х? А
требование положительности а? Легко видеть, что ни одно из двух
требований не может быть отброшено, поскольку иначе правая часть первого
неравенства Чебышева может стать отрицательной.