Биномиальное распределение
Случайная величина В = X1 + X2
+…+ Xk называется биномиальной.
Ясно, что 0<B<k при всех возможных
исходах опытов. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности
Р(В = а) при а = 0, 1, …, k, достаточно
знать р – вероятность наступления рассматриваемого события в
каждом из опытов. Действительно, случайное событие В = а осуществляется
тогда и только тогда, когда событие А наступает ровно при а
испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (т.е. номера в
последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления
в а опытах события А и в k-а опытах противоположного
ему – это вероятность произведения k независимых событий. Вероятность
произведения равна произведению вероятностей, т.е. ра(1
- р)k-a.
Сколькими способами можно задать номера а испытаний из k?
Это 
- число сочетаний из k
элементов по а, рассматриваемое в комбинаторике. Как известно,
где символом k! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до k, т.е. 
(дополнительно принимают, что 0! = 1). Из
сказанного следует, что биномиальное распределение, т.е. распределение
биномиальной случайной величины, имеет вид
Название «биномиальное распределение» основано на том, что Р(В
= а) является членом с номером (а+1) в разложении по биному Ньютона
если положить А = 1 – р, С = р. Тогда при j = a получим
Для числа сочетаний из k элементов по а, кроме ,
используют более распространенное в отечественной литературе обозначение 
.
Из утверждения 10 и расчетов примера 9 следует, что для
случайной величины В, имеющей биномиальное распределение, математическое
ожидание и дисперсия выражаются формулами
поскольку В является
суммой k независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и
дисперсиями, найденными в примере 9.
