А.И.
Орлов
Теория принятия решений
Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004.
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕОРИИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ
4.5. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ВЗАИМОВЛИЯНИЙ
ФАКТОРОВ
4.5.3. Компьютерная система ЖОК поддержки анализа и управления
в сложных ситуациях[1]
Основные сведения о системе ЖОК. Компьютерная
система ЖОК предназначена для структуризации и анализа сложных, трудно формализуемых,
слабо структурированных задач различной природы (экономической, управленческой,
прогностической, технической, медицинской, социально-политической, экологической
и пр.). Она применяется для построения моделей ситуаций на основе описания влияний
факторов с помощью ориентированных графов и использования оценок экспертов с
последующим определением наиболее эффективных управленческих решений. Компьютерная
система ЖОК:
-
поддерживает аналитическое обоснование
подходов к решению исследуемых проблем;
-
позволяет спрогнозировать развитие моделируемой
реальной системы; оценить результаты целенаправленного изменения тех или иных
факторов;
-
дает возможность выработать условия для
целенаправленного поведения в исследуемой ситуации;
-
обеспечивает возможность решения прямых
и обратных задач управления.
Для построения
модели изучаемого явления или процесса компьютерная система ЖОК предусматривает
выделение основных факторов, описывающих реальную ситуацию, и установление непосредственных
взаимосвязей между факторами в виде построения ориентированного взвешенного
графа. Опосредованные взаимовлияния и итоговое стационарное состояние рассчитываются
по описанным ниже алгоритмам. Система позволяет анализировать три основных типа
сценариев:
сценарий
“Прогноз”, позволяющий проследить “естественное” развитие моделируемой системы
при отсутствии активных воздействий;
сценарий типа “Активный”, при котором работающий с системой специалист изменяет
значения тех или иных параметров и анализирует получающуюся динамику и итоговое
состояние (например, с целью ручного поиска рационального управления);
сценарий
типа “Цель”, когда компьютерная система по заданной цели управления (например,
значения определенных параметров должны быть не менее заданных) находит оптимальные
воздействия путем решения соответствующей задачи оптимизации, в частности, проводит
анализ принципиальной достижимости указанной цели из текущего состояния с использованием
выбранных мероприятий (управлений).
Ядром компьютерной системы ЖОК является описанная ниже математическая модель.
Преобразование задач анализа реальных явлений и процессов к математической постановке,
оценка адекватности реальности и ее модели, процесс выбора управлений, процесс
сравнительного анализа различных ситуаций в целом, моделирования и последующей
интерпретации результатов математического моделирования относится к области
“ручного труда” специалиста в соответствующей области знания и полной автоматизации,
как правило, не поддается.
Некоторые
особенности математической модели и основных алгоритмов компьютерной системы
ЖОК. Компьютерная
система ЖОК обеспечивает расчет равновесного (стационарного) состояния, к которому
будет стремиться система взаимовлияющих факторов, и всех промежуточных состояний
на пути от начального состояния к равновесному. В систему
включены три варианта расчетов:
- расчет
равновесного состояния без управления (учитываются только начальные данные);
- расчет
равновесного состояния с управлением импульсного типа (при t = 0). (В такой модели
система интерпретирует импульсное управление, как поправку к начальным данным.);
- расчет
величины управления по заданным значениям величины приращения целевых факторов.
Первая
версия системы ЖОК имеет некоторые ограничения. Она пока не позволяет определять
управляющие воздействия как функции времени. Не предусмотрено изменение с течением
времени самого множества управляющих факторов. Отсутствует понятие инертности
факторов, что (при использовании физических аналогий) делает модель скорее кинематической,
чем динамической. Шагом дискретного времени в модели принимается один такт,
в течении которого любой фактор-аргумент оказывает
определенные влияния (равные весам соответствующих дуг в графе) на все непосредственно
зависимые от него факторы-функции. В дальнейших версиях системы эти недостатки
будут устраняться.
Математические
алгоритмы исследовательской системы ЖОК. Используются следующие обозначения:
n
- количество вершин в ориентированном графе G модели, т.е. число
используемых в модели факторов;
-
матрица порядка n х
n непосредственных влияний
факторов (матрица смежности графа G);
- матрица,
транспонированная к матрице (называемая матрицей
непосредственных контрвлияний факторов);
t – время, принимающее дискретные значения 0,1,2,3,…
вектор , t=0,1,2,3,…, -
вектор изменений (приращений, дифференциалов) факторов в момент дискретного
времени t;
вектор , t=0,1,2,3,…, является
вектором дифференциалов факторов второго порядка в момент дискретного времени
t;
вектор
обозначает величины
предельных стационарных изменений (дифференциалов) факторов при безграничном
росте t (очевидно, что если существует,
то
);
вектор
обозначает внешние управляющие воздействия, подаваемые на фактор
.в момент
t;
вектор
обозначает сравнительную
важность факторов , задаваемую экспертным
путем;
вектор
обозначает отношение
составителя модели к направлению изменения величин факторов (+1 – рост значения
фактора оценивается положительно, (-1) – отрицательно, 0 – нейтрально);
-
единичная n´n
матрица (на главной диагонали стоят 1, на остальных позициях – 0);
-
прореженная единичная n´n матрица, в которой единицы стоят
на диагонали только на тех позициях, которые соответствуют целевым факторам.
Очевидно, что является проектором
на координатную плоскость целевых факторов, и следовательно
, матрица
является псевдообратной
к матрице ;
-
прореженная единичная n´n матрица, в которой единицы стоят
на диагонали только на тех позициях, которые соответствуют управляющим факторам.
Очевидно, что является проектором
на координатную плоскость управляющих факторов, и, следовательно , матрица
является псевдообратной
к матрице ;
-
резольвента, где
-
множитель-стабилизатор, который используется в целях обеспечения достаточно
устойчивой и быстрой сходимости итерационного процесса приближенного вычисления
матрицы резольвентного оператора
,
где p
достаточно велико;
в
том случае, если собственные числа матрицы достаточно малы
(обычно принимается, что должна иметь собственные
числа не только меньше единицы, но и меньше 0.9). Поскольку стабилизатор
имеет лишь внутриматематический
смысл и не используется при построении модели и интерпретации результатов расчетов,
то в дальнейшем его не будем упоминать, предполагая по умолчанию .
Система уравнений в математической модели.
Для
описания динамики факторов в компьютерной системе ЖОК используется математическая
модель в виде системы линейных конечноразностных рекуррентных уравнений на трехточечном
шаблоне {t-1, t, t+1} следующего вида:
(1),
с начальными
условиями
(2),
где i = 1,2, ... , n , t = 0, 1, 2, ...
Для рекуррентного уравнения на трехточечном
шаблоне необходимо задать начальные условия при t
= 0 ( ), и при t
= 1 ( ). Следовательно,
первым уравнением цепочки рекуррентных уравнений (1) будет уравнение при t
= 1.
При t = 1 уравнение
полагается определенным и имеет вид
Для t = 0 уравнение определяется посредством соотношения
(3),
и тогда недостающие
начальные данные вычисляются из
уравнения
(4)
Заметим, что доопределение начальных данных
нулем
- всего лишь один из способов. В частности, если положить , то результаты
вычислений будут другими.
Из уравнений (1) видно, что используемая модель предполагает, что за один шаг
дискретного времени (Dt=1) происходит распространение влияния факторов-аргументов только на
непосредственно от них зависящие факторы-функции. Времени можно придать содержательный
смысл, если за шаг принять реальный интервал времени, необходимый для осуществления
непосредственного влияния одного фактора на другой. Этот интервал может быть
оценен экспертно, В ряде случаев его можно принять равным кварталу.
Уравнение (1) - (2) в векторной форме имеет вид
(5)
, (6)
где t
= 0,1,2,...Решение задачи (5)-(6) определяются формулой
(7).
Стационарное
состояние и начальные условия. Стационарное состояние вычисляется приближенно
при . Для практических
расчетов достаточно принять, что .
Векторное уравнение (5) может быть представлено
в виде уравнения для дифференциалов второго порядка:
(8)
,
(9)
где t
= 0, 1, 2, ...
Решение
уравнения (8) – (9) имеет вид
(10).
Если просуммировать
уравнения (8) при t = 0, 1, 2, . . . , то получим
(при условии сходимости)
(11),
откуда
следует
(12)
Если же
просуммировать уравнения (8) при t = 1, 2, . . . ,
то получим (при условии сходимости)
, (13)
и соответственно
(14),
откуда видно,
что при выборе начальных условий вида результат (14)
отличается от (12).
В частности,
при выборе режима прогноза развития ситуации без управления и
выборе начальных условий , которые выражают
равенство нулю вторых производных от величин факторов при t = 0, из формулы (14) получим . что означает,
что никакого развития ситуации не происходит и она
продолжает двигаться “равномерно и прямолинейно”, поскольку вторые дифференциалы
факторов равны нулю и первые дифференциалы факторов не изменяются во времени.
С другой стороны формула (12) предполагает, что начальные
данные оказывают такое же ударное воздействие в момент t
= 0, как и внешнее импульсное при t = 0 управление,
играющее роль и имеющее “размерность” “механической силы”.
Если предполагается
использование только импульсных управляющих воздействий при
t = 0 и в дальнейшем , то задача
развития ситуации без управления и с управлением не отличаются друг от друга,
поскольку управление в сущности играет роль поправки
к начальным данным и, обратно, начальные данные выполняют роль поправки к управлению.
Режим
поиска управления по целевым значениям факторов. Проекция
стационарного решения (12) уравнения (8)-(9) на координатную плоскость целевых
факторов может быть представлено в виде
,
где
,
,
или иначе
(15).
Пусть - вектор значений
дифференциалов целевых факторов, тогда импульсное управление определяется по
формуле
(16),
где “+” обозначает операцию псевдоинверсии,
и матрица является псевдообратной
к матрице ;
является
результатом применения к вектору операции
- ограничения числовых
значений компонент вектора величинами +1 и
-1 , если эти значения выходят за пределы отрезка [-1; +1];
получается
из применением
операции - замены числовых
значений ближайшими к ним
экстремальными на отрезке [-1; +1] величинами +1 или -1 соответственно.
Тогда
стационарные решения, получаемые с использованием этих управлений, вычисляются
по формулам
,
.
Степени матрицы смежности графа G и опосредованные взаимовлияния
факторов. Пусть вершина x1 влияет на вершину x2 с силой 0.5, вершина
x2 влияет на x4 с силой 0.6, вершина x1 влияет на x3 с силой 0.8, вершина x3
влияет на x4 с силой 0.4. Тогда опосредованное суммарное влияние x1 на x4 имеет
силу 0.5*0.6 + 0.8*0.4 = 0.62, что равно сумме весов двух путей x1-x2-x4 и x1-x3-x4
из x1 в x4, веса которых равны соответственно 0.5*0.6 = 0.3 и 0.8*0.4 = 0.32
. Суммарная сила влияния одного фактора на другой равна сумме весов всех маршрутов
в ориентированном графе G из одного фактора в другой. Вес пути (маршрута) определяется
как произведение весов дуг составляющих этот путь (маршрут). Указанный алгоритм
расчета опосредованных взаимовлияний в случае необходимости может быть скорректирован
с целью адекватного учета взаимоотношений факторов в дальнейших версиях системы.
Если рассмотреть степени матрицы , то их элементам
можно придать вполне определенный смысл.
Так, например, элемент матрицы с координатами
(1,2) равен сумме весов всех маршрутов из x1 в x2, содержащих ровно две
дуги, а в сумме весов всех
маршрутов из x1 в x2, содержащих ровно три дуги и т.д.
Таким образом матрица выражает суммарные
опосредованные влияния факторов друг на друга с учетом рефлексивного (m
= 0) непосредственного влияния фактора на самое себя с силой +1, а матрица
не учитывает рефлексивного
непосредственного влияния.
Матрица является матрицей
контрвлияний факторов с учетом рефлексивности,
а матрица
-
матрицей
контрвлияний факторов без учета рефлексивности.
Отдельный интерес представляет собой матрица знаков элементов
матрицы , т.е. матрица направленности
интегральных влияний фактора на фактор (или контрвлияний, если рассмотреть матрицу ).
[1] В этом разделе использованы
разработки В.Н.Жихарева.
Материал предоставлен сайтом AUP.Ru (Электронная библиотека экономической и деловой литературы)
Похожие материалы:
Комплектовщик шрифтовой продукции
Комплектовщик форм сусальных металлов (Выпуск №8 ЕТКС)
Комплектовщик форм
Компьютеры
в прикладной статистике
Компьютеры: шины, контроллеры, периферийные устройства. Введение - Авдеев В.А. и др., 2001
Компьютеры: шины, контроллеры, периферийные устройства. Контрольные вопросы 1
|