Преобразования
случайных величин
По каждой случайной величине Х определяют еще три
величины – центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y – это разность между данной
случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое
ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии
данной случайной величины: М(Y) = 0, D(Y) = D(X). Функция распределения FY(x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:
FY(x) =F(x + M(X)).
Для плотностей этих случайных величин
справедливо равенство
fY(x) = f(x + M(X)).
Нормированная
случайная величина V – это отношение данной случайной величины Х к
ее среднему квадратическому отклонению , т.е. .
Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:
,
где v – коэффициент вариации исходной
случайной величины Х. Для функции распределения FV(x) и плотности fV(x) нормированной случайной величины V имеем:
,
где F(x) – функция распределения исходной случайной величины Х,
а f(x) – ее плотность вероятности.
Приведенная
случайная величина U – это центрированная и нормированная случайная
величина:
.
Для приведенной случайной величины
. (7)
Нормированные, центрированные и
приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических
исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах,
нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности,
потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов,
формулировки теорем и расчетные формулы.
Используются
преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y = aX + b, где a и b – некоторые числа, то
(8)
Пример
7. Если то Y – приведенная случайная величина, и
формулы (8) переходят в формулы (7).
С
каждой случайной величиной Х можно связать множество случайных величин Y, заданных формулой Y = aX + b при различных a>0 и b. Это множество называют масштабно-сдвиговым
семейством, порожденным случайной величиной Х. Функции распределения FY(x) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией
распределения F(x). Вместо Y = aX + b часто используют запись
(9)
где
Число с называют параметром
сдвига, а число d - параметром
масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой
величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если
начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу
измерения, в d раз большую старой.
Для
масштабно-сдвигового семейства (9) распределение Х называют стандартным. В
вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных
исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное
распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см.
ниже).
Применяют
и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной
случайной величины Х рассматривают Y = lg X, где lg X – десятичный логарифм числа Х.
Цепочка равенств
FY(x)
= P(lg X < x) = P(X < 10x) = F(10x)
связывает функции распределения Х и Y.