Распределения
Пирсона (хи – квадрат), Стьюдента и Фишера
С помощью нормального распределения определяются три
распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической
обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти
распределения.
Распределение
Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной
величины
где случайные величины X1, X2,…, Xn независимы и имеют одно и тоже
распределение N(0,1). При этом число слагаемых, т.е. n, называется «числом степеней
свободы» распределения хи – квадрат.
Распределение
хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного
интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде
всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число
значений, и во многих других задачах статистического анализа данных [8, 9, 11,
16].
Распределение t Стьюдента –
это распределение случайной величины
где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное
нормальное распределение N(0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы»
распределения Стьюдента.
Распределение
Стьюдента было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем
на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались
для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее
руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем.
Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде
вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел
возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета -
Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была
очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов.
В
настоящее время распределение Стьюдента – одно из наиболее известных
распределений среди используемых при анализе реальных данных. Его применяют при
оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других
характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о
значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости,
гипотез однородности выборок и т.д. [8, 9, 11, 16].
Распределение
Фишера – это распределение случайной величины
где случайные величины Х1 и Х2 независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом
степеней свободы k1 и k2 соответственно. При этом пара (k1, k2) – пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера,
а именно, k1 – число степеней свободы числителя, а k2 – число степеней свободы
знаменателя. Распределение случайной величины F названо в честь великого английского
статистика Р.Фишера (1890-1962), активно использовавшего его в своих работах.
Распределение
Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном
анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики [8, 9,
11, 16].
Выражения
для функций распределения хи - квадрат, Стьюдента и Фишера, их плотностей и
характеристик, а также таблицы, необходимые для их практического использования,
можно найти в специальной литературе (см., например, [8]).