Вероятность
события
Перейдем к основному понятию теории вероятностей – понятию
вероятности события. В методологических терминах можно сказать, что вероятность
события является мерой возможности осуществления события. В ряде случаев
естественно считать, что вероятность события А – это число, к которому
приближается отношение количества осуществлений события А к общему числу
всех опытов (т.е. частота осуществления события А) – при увеличении
числа опытов, проводящихся независимо друг от друга. Иногда можно предсказать
это число из соображений равновозможности. Так, при бросании симметричной
монеты и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, а именно, 1
шанс из 2, а потому вероятности выпадения герба и решетки равны 1/2.
Однако
этих соображений недостаточно для развития теории. Методологическое определение
не дает численных значений. Не все вероятности можно оценивать как пределы
частот, и неясно, сколько опытов надо брать. На основе идеи равновозможности
можно решить ряд задач, но в большинстве практических ситуаций применить ее
нельзя. Например, для оценки вероятности дефектности единицы продукции. Поэтому
перейдем к определениям в рамках аксиоматического подхода на базе математической
модели, предложенной А.Н.Колмогоровым (1933).
Определение
1. Пусть конечное множество является пространством элементарных событий,
соответствующим некоторому опыту. Пусть каждому поставлено в соответствие неотрицательное
число ,
называемое вероятностью элементарного события , причем
сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, т.е.
(1)
Тогда пара ,
состоящая из конечного множества и неотрицательной функции Р,
определенной на и удовлетворяющей условию (1), называется вероятностным
пространством. Вероятность события А равна сумме вероятностей
элементарных событий, входящих в А, т.е. определяется равенством
(2)
Сконструирован
математический объект, основной при построении вероятностных моделей.
Рассмотрим примеры.
Пример
1. Бросанию монеты соответствует вероятностное пространство с = {Г, Р} и Р(Г) = Р(Р) =
½; здесь обозначено: Г – выпал герб, Р – выпала решетка.
Пример
2. Проверке качества одной единицы продукции (в ситуации, описанной в
романе А.Н.Толстого «Хождение по мукам» - см. выше) соответствует вероятностное
пространство с = {Б, Г} и Р(Б) = 0,23, Р(Г) = 0,77; здесь
обозначено: Б - дефектная единица продукции, Г – годная единица продукции;
значение вероятности 0,23 взято из слов Струкова.
Отметим,
что приведенное выше определение вероятности Р(А) согласуется с
интуитивным представлением о связи вероятностей события и входящих в него
элементарных событий, а также с распространенным мнением, согласно которому
«вероятность события А – число от 0 до 1, которое представляет собой
предел частоты реализации события А при неограниченном числе повторений
одного и того же комплекса условий».
Из
определения вероятности события, свойств символа суммирования и равенства (1)
вытекает, что
(3)
Для несовместных событий А и В согласно формуле (3) Р(А+В) = Р(А)+Р(В).
Последнее утверждение называют также теоремой сложения вероятностей.