3.4. Средние по Колмогорову
Обобщением нескольких из перечисленных выше средних является среднее по Колмогорову. Для чисел X1, X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле
G{(F(X1)+F(X2)+...F(Xn))/n},
где F -
строго монотонная функция (т.е. строго
возрастающая или строго убывающая), G - функция, обратная к F.
Среди средних по Колмогорову - много хорошо известных персонажей. Так, если F(x) = x, то среднее по
Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x)
= ln x, то среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее
гармоническое, если F(x) = x2, то среднее квадратическое, и т.д. Среднее по Колмогорову - частный
случай среднего по Коши. С другой стороны, такие популярные средние, как
медиана и мода, нельзя представить в виде средних по
Колмогорову. В монографии [2] доказаны следующие утверждения.
Теорема
3. При справедливости некоторых внутриматематических условий регулярности в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову допустимым является
только среднее арифметическое.
Таким
образом, среднее геометрическое или среднее квадратическое температур (в шкале Цельсия) или расстояний не имеют смысла. В качестве
среднего надо применять среднее арифметическое. А также можно использовать
медиану или моду.
Теорема
4. При справедливости некоторых внутриматематических условий регулярности в шкале отношений
из всех средних по Колмогорову допустимыми являются только степенные средние с
F(x) = xс , и среднее геометрическое.
Замечание. Среднее геометрическое является пределом степенных средних при
Есть ли средние по
Колмогорову, которыми нельзя пользоваться в шкале отношений? Конечно, есть.
Например, с F(x) = ex .
Аналогично средним величинам могут быть изучены и
другие статистические характеристики - показатели разброса, связи, расстояния и
др. (см., например, [2] ). Нетрудно показать,
например, что коэффициент корреляции не меняется при любом допустимом
преобразовании в шкале интервалов, как и отношение дисперсий, дисперсия не
меняется в шкале разностей, коэффициент вариации - в шкале отношений, и т.д.
Приведенные
выше результаты о средних величинах широко применяются, причем не только в
экономике, менеджменте, теории экспертных оценок или социологии, но и в
инженерном деле, например, для анализа методов агрегирования датчиков в АСУ ТП
доменных печей. Велико прикладное значение ТИ в задачах стандартизации и
управления качеством, в частности, в квалиметрии. Здесь есть и интересные
теоретические результаты. Так, например, любое изменение коэффициентов
весомости единичных показателей качества продукции приводит к изменению
упорядочения изделий по средневзвешенному показателю (эта теорема доказана
проф. В.В. Подиновским).