Доверительное оценивание для дискретных распределений
Для дискретных распределений, таких,
как биномиальное, гипергеометрическое или распределение Пуассона (а также
распределения статистики Колмогорова
и других непараметрических
статистик), функции распределения имеют скачки. Поэтому для заданного заранее
значения γ, например, γ= 0,95, нельзя указать доверительные границы,
поскольку уравнения, с помощью которых вводятся доверительные границы, не имеют
ни одного решения. Так, рассмотрим биномиальное распределение
,
где Y – число осуществлений события, n – объем выборки. Для него нельзя
указать статистику K(Y, n) такую, что
P{p < K(Y, n)} = γ,
поскольку K(Y, n) – функция от Y и может принимать не больше
значений, чем принимает Y, т.е. n + 1, а для γ имеется бесконечно
много возможных значений – столько, сколько точек на отрезке. Сказанная
означает, что верхней доверительной границы в случае биномиального
распределения не существует.
Для дискретных распределений приходится изменить
определения доверительных границ. Покажем изменения на примере биномиального
распределения. Так, в качестве верхней доверительной границы θВ используют наименьшее K(Y, n) такое, что
P{p < K(Y, n)} > γ.
Аналогичным образом
поступают для других доверительных границ и других распределений. Необходимо
иметь в виду, что при небольших n и p истинная доверительная вероятность P{p < K(Y, n)} может существенно отличаться от номинальной γ,
как это подробно продемонстрировано в работе [13]. Поэтому наряду с величинами
типа K(Y, n) (т.е. доверительных границ) при разработке таблиц и
компьютерных программ необходимо предусматривать возможность получения и
величин типа P{p < K(Y, n)} (т.е. достигаемых доверительных вероятностей).